Autre methode´ . \displaystyle \mathbf 4.\ \int_0^{+\infty}\frac{\arctan t}{t^\alpha}dt

Finalement, le développement asymptotique recherché est de la forme : Pour tout $n\geq 1$, donner un développement asymptotique de $li(x)$ $I_n=\int_0^1 (\ln x)^ndx.$Intégrer par parties pour obtenir une relation entre $I_n$ et $I_{n-1}$.La fonction $x\mapsto (\ln x)^n$ est continue sur $]0,1]$. Déterminer un équivalent simple en $+\infty$ de $\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}tdt$.Intégrer par parties puis utiliser le théorème d'intégration des relations de comparaison.On remarque d'abord que $\int_1^{+\infty}\frac{e^{-t}}tdt$ converge : en effet, la fonction $t\mapsto \frac{e^{-t}}t$ est continue et positive sur $[1,+\infty[$ et $\lim_{t\to+\infty}t^2\frac{e^{-t}}t=0$. 8 0 obj \displaystyle \mathbf 3.

$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \end{eqnarray*} Or, au voisinage de $+\infty$, Donner un équivalent de $\int_1^{x}\frac{\arctan t}{t}dt$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.Trouver un équivalent de $\frac{\arctan t}{t}$ au voisinage de $+\infty$ et appliquer le théorème de comparaison des intégrales à paramètres.Au voisinage de $+\infty$, $\frac{\arctan t}{t}\sim_{+\infty}\frac{\pi}{2t}$, qui est une fonction positive et dont l'intégrale diverge au voisinage de $+\infty$. \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \end{array}$$Le but de cet exercice est de calculer la valeur de $I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}tdt$.

Pour cela, prenons $a\in]0,1[$.

\displaystyle \mathbf 3.\ \int_2^{+\infty}\left(\sqrt{x^4+x^2+1}-x\sqrt[3]{x^3+ax}\right)dx,\ a\in\mathbb R.&&\displaystyle Donc on a prouvé que $f$ tend vers $0$ en $+\infty$.Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue par morceaux et intégrable.

Justifier la convergence et calculer la valeur des intégrales suivantes : Par comparaison avec une intégrale de Riemann, l'intégrale est convergente en 0. $$\int_1^x \frac{e^t}{t^3}dt=\frac{e^x}{x^3}+o\left(\frac{e^x}{x^3}\right).$$ Intégrons cette inégalité. \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{1}\frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}dt&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}te^{-\sqrt t}dt\\ $$\frac{e^t}{t^4}=o_{+\infty}\left(\frac{e^t}{t^3}\right).$$ \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} On obtient, pour $x>1$, \displaystyle \mathbf 5.\ \int_0^1 \frac{dt}{(1-t)\sqrt t} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-s_0t}dt$ converge.

le terme $O(1)$ correspondant aux constantes d'intégration. \end{array}$$Il faut, en utilisant les développements limités, décomposer les fonctions en somme de fonctions dont l'étude est plus simple. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} Toujours par intégration par parties, $$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} $$\left|\int_x^{2x}\veps(t)dt\right|\leq Mx\to 0,$$ Définition 1.1. &\leq&\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{1+(k\pi)^4\sin^2 x}\textrm{ par $\pi$-périodicité de }\sin^2 x\\ I_0.$$ 4 0 obj

\int_1^x \frac{e^t}{t}dt&=&\left[ \frac{e^t}{t}\right]_1^x+\int_1^x \frac{e^t}{t^2}dt\\ On suppose que $f$ est intégrable sur $[0,+\infty[$. (\247 3. $$\int_1^x \frac{e^t}{t^3}dt=\frac{e^x}{x^3}-e+3\int_1^x \frac{e^t}{t^4}dt.$$ \end{eqnarray*} de limite nulle en $+\infty$. \end{array}$$Commencer par trouver des intervalles où la fonction est continue, puis étudier le problème au bord. $$I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \big((2n+1)t\big)}{\sin t}dt\textrm{ et }J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \big((2n+1)t\big)}{t}dt.$$ L'objectif de ce problème est l'étude de la fonction dilogarithme définie par : Intégrale généralisée exercice corrigé bibmath pdf. On peut intégrer ces relations de comparaison (car tout est positif), et on obtient : Pour la question 2., Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue et $s_0\in\mathbb R$ tels que &=&\frac{e^x}x-\frac{e}1+\left[ \frac{e^t}{t^2}\right]_1^x+2\int_1^x \frac{e^t}{t^3}dt\\ \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} Puisque $a/2<0$, la fonction $e^{\frac a2x}$ est intégrable sur $]0,+\infty[$. \end{array}$$Il faut, en utilisant les développements limités, décomposer les fonctions en somme de fonctions dont l'étude est plus simple. \displaystyle\mathbf 3.\int_0^{+\infty}\sin(t)e^{-at}dt,\ a>0. De plus, l'inégalité précédente prouve que $f$ tend vers 0 en $+\infty$. par parties.